Probabilità e Deck Building

[Matte]

Salve a tutti, mi servirebbe un po' di aiuto per quello che riguarda il deck-building.

1) Come si fa a calcolare la probabilità di avere almeno una carta, presente nel mazzo in 2/3/4 copie, nella mano iniziale?
2) La probabilità di averne almeno due?
3) Una volta noto il primo dato, per calcolare la probabilità di avere "o questo, oppure questo", posso semplicemente sommare le probabilità?
4) Se voglio invece "sia questo che questo" posso semplicemente fare il prodotto?

Purtroppo di statistica e probabilità sono ignorante perché mi occupo quasi solo di cose deterministiche e non ho idea di come poter studiare una situazione nella quale pesco n carte e mi basta averne una per considerarlo un evento favorevole.

[Windauga]

E' più difficile da spiegare che da capire forse xD
In generale vale questa regola:
http://www.mat.unimi.it/users/morale/di ... 2007_3.pdf

Immagina di pescare le prime sette carte una per volta, se hai una carta in k = 4 copie....la probabilità che sia la prima sarà 4/60 in un mazzo di 60 carte. Nel caso tu ne voglia una sola basta così
Se la prima non è quella desiderata, prosegui e la probabilità di pescarla tra le prime due è data dalla probabilità di pescarla per prima più la probabilità di pescarla per seconda non avendola pescata per prima...quindi per k = 4: (4/60)+(56/60)*(4/59)...
per le carte dalla terza alla settima prosegui il ragionamento sempre con questo criterio!

se desideri due carte diverse la cosa è un po' più complicata, ma la logica è la stessa...
per il: "questo oppure questo" basta che sommi, esatto.

Devo studiare per un esame xD quindi per adesso mi fermo qui, spero di non averti unicamente confuso le idee!

[Matte]

Ma la probabilità p= (4/60 + 56/60*4/59 + 55/59*4/58 + 54/58*4/57) è quella di pescarne esattamente 1 o quella di pescarne almeno una?

[Vexac]

La distribuzione delle carte in un mazzo, dipendente dalle pescate si chiama distribuzione ipergeometrica e non ti starò a spiegare come funziona, ma risponderò alle tue domande:

1) La probabilità di non vedere in prima mano nemmeno una di un 4x di carte è del 60.05%. Ne consegue che vedere almeno 1 di 4 carte in prima mano ha il 39.95% di accadere. A seguito, le probabilità di pescata in mano iniziale di almeno una carta di un certo numero di partenza nel mazzo:
- Carta in 4x nel mazzo = 40% circa
- Carta in 3x nel mazzo = 33% circa
- Carta in 2x nel mazzo = 22% circa
- Carta in singola copia nel mazzo = 13% circa

2) La probabilità di avere in mano iniziale esattamente 2 carte di un set di 4 è del 6%, che si riduce al 3% se ne giochi solo 3 nel mazzo. Vederne "almeno" 2 è un calcolo un po più complicato, ma sappi che la probabilità in questo caso non aumenta nemmeno del 2%, rimanendo sotto l'8% (almeno 2 di 4) e 3% (almeno 2 di 3).

3) Per calcolare "o questo oppure quello" non ci vuole una particolare operazione fra entrambe le parti: è molto più semplice pensare che il calcolo ipergeometrico se ne frega del fatto che "questo" e "quello" siano diversi, tanto devi comunque vederne almeno uno, giusto? Semplicemente fai il totale delle copie che tieni nel mazzo e poi calcoli la distribuzione ipergeometrica come da punto 1...
Ad esempio, ho 4 Inquisition of Kozilek e 3Thoughtseize nel mazzo e voglio assolutamente vedere uno di questi scartini di prima mano: nel calcolo della probabilità basta pensare di giocare 7 "scartini" in generale, inserendolo nella formula. Per la cronaca:
- Totale 8x nel mazzo = 66% circa
- Totale 7x nel mazzo = 60% circa
- Totale 6x nel mazzo = 54% circa
- Totale 5x nel mazzo = 48% circa

4) Questo è il punto più complesso. Se un mazzo vuole avere due specifiche carte diverse nella mano iniziale, il calcolo più semplice che suggerisco è la composizione di due calcoli probabilistici (questo metodo non è statistico e non dà i risultati corretti, ma si avvicina al risultato verosimile):
Supponiamo per semplicità di voler vedere un'accoppiata Splinter Twin + Deceiver Exarch oppure Ad Nauseam + Angel's Grace, carte che vengono tutte usate in 4x nei rispettivi mazzi, per aumentare le probabilità di scombare in fretta; di 8 elementi vogliamo scoprire quante sono le possibili accoppiate fra 2 di questi:
Il primo fa 7 coppie, il secondo ne fa 6 e così via sommandole fino a 1, trovando un totale di 28 coppie possibili. Ora ci interessano le coppie che hanno gli elementi appartenenti a due metà diverse (sempre nell'esempio, la prima metà sono i 4 splinter twin e la seconda metà sono i 4 esarchi): queste sono 16 (ogni carta della prima metà si accoppia con ognuna della seconda, arrivando a 4x4). Quindi, supponendo di pescare 2 carte appartenenti alle 8 della combo, abbiamo il 57% di probabilità che queste siano diverse (16 di 28). Il calcolo si conclude componendo questa probabilità a quella di vedere 2 carte di 8 in mano iniziale, che è del 19% circa (sempre calcolato con la distribuzione ipergeometrica).
Quindi:
Probabilità di vedere 2 carte di 8 in mano iniziale = 19%
Probabilità che queste siano diverse = 16/28 di 18.8 = 57% di 18.8% = 10.74 %

Per ulteriori informazioni, informati sulla Distribuzione Ipergeometrica

[potereafro]

Complimenti vex da stickare , vorrei aggiungermi e fare una domanda simile.
Se io ho un mazzo con X terre ed ho una mano ad 1 terra, quale è la % di pescare la seconda in 1/2/3 pescate e così via? sarebbe utile saperlo così da poter imparare a tenere o mulligare meglio.

[Vexac]

Complimenti vex da stickare , vorrei aggiungermi e fare una domanda simile.
Se io ho un mazzo con X terre ed ho una mano ad 1 terra, quale è la % di pescare la seconda in 1/2/3 pescate e così via? sarebbe utile saperlo così da poter imparare a tenere o mulligare meglio.

Potrei risponderti con una funzione di x, dove X sono le terre che giochi, ma trovo che i lettori apprezzino di più i numeri che un "tieni, fatti il calcolo"
Per intenderci, guardate che splendore


Bene, detto questo inizio a darci dentro coi calcoli. Se non vi dispiace prendo 23 come numero di terre, visto che è la media per il formato Modern (quello che più conosco):
Consideriamo di avere 1 terra di 23 in mano, e ancora 22 terre su 53 pescate nel mazzo.
- Con la prima pescata, pescheremo terra col 43%
- Con la seconda pescata, pescheremo terra col 68%
- Con la terza pescata, pescheremo terra con l'83%
- Con la quarta pescata, pescheremo terra col 92%
Come potete vedere, la differenza fra 43 e 68% è decisamente grossa: questo significa che se siete voi ad iniziare per primi, avete un 43% circa di probabilità di azzeccare il land drop in T2, mentre se è l'avversario ad iniziare voi disponete di una pescata in più, che significa andare per il 68% di probabilità di fare T1 landa, T2 landa (che è più allettante di un mulligan, secondo me, poi dipende dal mazzo)

Se volete invece farvi il calcolo da soli (buona fortuna) dovete usare questi parametri, seguendo la formula d'immagine:

a = (n°terre - 1) fisso. Il -1 è quella pescata di prima mano;
x = 0 fisso. Rappresenta la probabilità di non pescare una terra, quindi per il risultato finale dovrete fare (1 - risultato).
n = n°carte ancora nel mazzo. Va fissato a 53, che sono le 60 meno quelle della mano iniziale.
r = n°carte pescate. Per la prima pescata si imposta questo a 1, per la seconda pescata a 2 e così via.

Spero di esservi stato d'aiuto

[Matte]

Come immaginavo la realtà, come spesso accade, è molto più complessa di quello che potrebbe sembrare

Se voglio calcolare la probabilità di non avere neanche una delle 14 terre di un particolare colore in mano iniziale, posso utilizzare la formula che hai riportato mettendo:
a=46
x=1
n=60
r=7
Direi di no perché così otterrei l'improbabile probabilità dell'1%

Se invece pongo la questione vedendo il bichiere mezzo pieno chiedendomi di avere esattamente 1 carta, poi esattamente 2 carte, poi esattamente 3 ecc e sommo tutte queste mi viene la probabilità dell'86% che è accettabile però non so se il ragionamente è corretto.

In definitiva, che formula devo usare e come devo impostare i coefficienti per ottenere ad esempio quel 40% del tuo primo messaggio?

[Vexac]

Come immaginavo la realtà, come spesso accade, è molto più complessa di quello che potrebbe sembrare

Se quindi voglio ad esempio calcolare la probabilità di avere esattamente una fonte di mana di un certo tipo, presente in 14 copie nel mazzo, in mano iniziale, posso usare la formula che hai riportato considerando:
a = 14
n = 60
r = 7
x = 1

Così facendo però ottengo un'improbabile probabilità del 34% e mi sa che non ho capito

No, hai fatto il calcolo perfettamente e viene proprio 34%
Considera che inserendo quei dati lì, il risultato finale è la probabilità di avere esattamente 1 fonte di mana di quel tipo, che significa che una mano con 0 o con 2 fonti di mana è esclusa dal risultato. Significa che una partita su 3, in media, la inizierai con una e una sola di quelle fonti di mana.

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Consiglio per tutti: giocherellare con la distribuzione ipergeometrica in questo modo può dare risultati veramente importanti per il deckbuilding!
Sulla base della domanda di Matte, vi pongo un esempio molto significativo:

- Gioco un mazzo piuttosto competitivo, ma non possiedo terre doppie, e mi devo arrangiare con Isole e Pianure (in totale 24)
- Il mio mazzo gioca spell ultra-intensive come Cryptic Command, Deprive e voglio che Snapcaster Mage possa giocarle di nuovo (quindi mi serve molto mana )
- Al contrario, le mie spell bianche come Restoration Angel e Blade Splicer non sono mana-intensive e ho notato che una sola Pianura basta a sopperire tutto il mio bisogno di mana bianco

Problema: qual è la migliore combinazione di Isola e Pianura, tale da giocare più partite possibile con tante isole e una sola pianura, manabase che mi permetterebbe di poter giocare qualsiasi cosa?
La soluzione sta nel considerare sia la probabilità di pescare una sola pianura in prima mano che il miglior rapporto Isola/Tot.Terre possibile, in modo da non finire in flood di pianure nelle pescate successive! Procediamo partendo dai dati raccolti nel post precedente:
14 Pianure + 10 Isole = 34% di una sola pianura in prima mano -> Rapporto Isola/Terre = 10/24 = 0.41. Componendo i dati raccolti (34 x 0.71) troviamo una distribuzione generale del mana non troppo soddisfacente (13.94). Ma d'altronde non ci voleva un genio per capire che un mazzo prevalentemente blu non può girare con 14 pianure e solo 10 isole...
Però così vi ho spiegato come funziona il ragionamento: ora bisogna solo diminuire il numero di pianure pian piano (aumentando ovviamente il rapporto Isola/Terre) fino a trovare il risultato migliore!

- 13 , 11 = 36% di mono-pianura -> Rapporto = 0.458 -> Distribuzione finale 36 x 0.458 = 16.488
- 12 , 12 = 38% di mono-pianura -> Rapporto = 0.500 -> Distribuzione finale 38 x 0.500 = 19.000
- 11 , 13 = 40% di mono-pianura -> Rapporto = 0.541 -> Distribuzione finale 40 x 0.541 = 21.640
- 10 , 14 = 41% di mono-pianura -> Rapporto = 0.583 -> Distribuzione finale 41 x 0.583 = 23.903
- 9 , 15 = 42% di mono-pianura -> Rapporto = 0.625 -> Distribuzione finale 42 x 0.625 = 26.250
- 8 , 16 = 42% di mono-pianura -> Rapporto = 0.666 -> Distribuzione finale 42 x 0.666 = 27.972
- 7 , 17 = 41% di mono-pianura -> Rapporto = 0.708 -> Distribuzione finale 41 x 0.708 = 29.028
- 6 , 18 = 40% di mono-pianura -> Rapporto = 0.750 -> Distribuzione finale 40 x 0.750 = 30.000
- 5 , 19 = 37% di mono-pianura -> Rapporto = 0.791 -> Distribuzione finale 37 x 0.791 = 29.267

Abbiamo quindi trovato il picco della parabola! Notando che già con 5 pianure la nostra stabilità di mana inizia a peggiorare, si può immaginare che proseguendo così arriveremo a risultati più brutti... Quindi tiriamo le somme!
Un mazzo impostato come da ipotesi avrà la manabase migliore possibile se giochiamo 6 Pianure e 18 Isole, con una possibilità di pescare una sola pianura in prima mano di 40% e con 3 Isole nel mazzo per ogni pianura, in media.

D'altronde anche gli approcci "a occhio" funzionano alla grande: come potete avere il mana per lanciare un Cryptic Command oppure un Restoration Angel? solo in un modo, , ovvero proprio 3 isole per 1 pianura, quello che abbiamo trovato noi

EDIT: Mentre rispondevo, Matte ha editato il suo vecchio messaggio, quindi non preoccupatevi se la mia citazione vi sembra "strana"

[Matte]

Ops chiedo scusa, avevo paura di aver detto una fesseria e allora ho editato!
Se allora io sommo le probabilità considerando esattamente 1, esattamente 2, ecc.. trovo la probabilità di averne almeno una ( 86% )?

Altra domanda: Se volessi considerare di avere a disposizione anche un mulligan a 6, come sarebbe sensato procedere?

[Vexac]

Ops chiedo scusa, avevo paura di aver detto una fesseria e allora ho editato!
Se allora io sommo le probabilità considerando esattamente 1, esattamente 2, ecc.. trovo la probabilità di averne almeno una ( 86% )?

Altra domanda: Se volessi considerare di avere a disposizione anche un mulligan a 6, come sarebbe sensato procedere?

In probabilità, per trovare "almeno uno" basta calcolare la probabilità di fare esattamente zero e poi calcolare 100 - quella probabilità

Per quanto riguarda il mulligan a 6: come ho già scritto, una probabilità combinata di due eventi separati (pescare 7, poi pescare 6) è un calcolo complesso, quindi ti consiglio di fare la media fra le due probabilità, che sebbene non sia matematicamente corretta, comunque si avvicina di molto al risultato corretto
Per il calcolo del mulligan a 6, avrete già capito che è sufficiente inserire i soliti dati usando r = 6 invece che = 7.

Fin qui ci sta, ma ricordo che il forum non è una chat, quindi se avete delle domande che sono più personali che di interesse pubblico (ad esempio, non mettiamoci a discutere di matematica su un forum di magic) fatele direttamente a me tramite MP